3) Умножение двух матриц

Произведение матриц существует т. и т. т., к. число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, т.е. матрица А имеет размер k*n, а матрица B – размер n*m.

Произведением матриц А и B наз. матрица С = (сίj) размера k*m:

сίj = ∑aίs*bsj = aί1*b1j + aί2*b2j + …. + aίn*bnj, где сίj – сумма произведений элементов ί-ой строки первого сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второго сомножителя.

Свойства:

Пусть все произведения и суммы определены

1) A(BC) = (AB)C –ассоциативность

2). A(B+C) = AB + AC

(А+В)С = АС + ВС; дистрибутивность сложения.

3). (tA)B = A(tB) = t(AB);

4). AE = A и EA = A, где Е – единичная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

5). A0 = 0 и 0A = 0; 6) (AB)^T = B ^T A ^T,

4). Если А и В – квадратная матрицы одного и того же порядка, то |АВ| = |A||В|

A B ≠ В А – не коммуникативно

Пусть А – квадратная матрица порядка n. Тогда матрица B наз. обратной к А, если АВ = ВА = Е, где Е – единичная матрица.

Квадратная матрица наз. обратимой если существует обратная к ней матрица.

Теорема: Если |А| = 0, то обратной к А матрицы не существует. Если |А| ≠ 0, то обратная матрица существует и единственна.