4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Л 4
Решением системы из m линейных уравнений с n неизвестными
a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2
….
am1x1 + am2x2 +… + amnxn = bm
наз. набор чисел (х10 , х20 ,..., хп0 ), при подстановке кот вместо неизвестных получаются верные числовые равенства.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) состоит в применении к исходной системе элементарных преобразований с целью получения лестничной системы. Если при этом возникает ур-ие вида 0*х1+0*х2+...+0*хn=b, b≠0,то преобразование прекращается и исходная система явл.не совместимой,т.е. не имеет решений.
Сис-ма линейных ур-ий вида, где С11 ≠ 0, С22 ≠ 0, … , Crr ≠ 0, r<=n наз. лестничной
C11X1 + C12X2 + … + C1rXr + … + C1nXn = d1
C22X2 + … + C2rXr + … + C2nXn = d2……
CrrXr + … + CrnXn = dr
Теорема: если r=n, то лестничная система имеет единственное решение
Теорема: если r<n, то лестничная система имеет бесконечно много решений
Лемма: Элементарные преобразования системы линейных ур-ий сохраняют множество ее решений.
Элементарные преобразования линейных ур-ий:
1) умножение ур-ия на ненулевое число;
2) прибавление одного ур-ия к другому, умножение на некоторое число;
3) перестановка ур-ий;
4) перестановка столбцов с неизвестными;
5) вычеркивание ур-ий вида: 0*х1+0*х2+...+0*хn=0
Возможно на одном из этапов возникнет сис-ма, в которую будет входить ур-ие вида:
0х1 + 0х2 + … +0хn = b, где b ≠ 0. В этом случае это ур-ие (а значит и любая сис-ма ур-ий, включающая его) решений не имеет => исходная сис-ма несовместна => в ходе преобразований исходной сис-мы процесс прекращается и заданная сис-ма линейных ур-ий несовместна. Если таких ур-ий не возникает, то сис-ма всегда может быть приведена к лестничному виду и решена.
Рассмотрим произвольную сис-му линейных ур-ий:
A11X1 + A12X2 +… + A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 +… + A2nXn = B2 (1)
….
Am1X1 + Am2X2 +… + AmnXn = Bm ,
в которой хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в одном из ур-ий ≠ 0. Если сис-ма содержит ур-ие 0х1 + 0х2 + … +0хn = 0 – вычеркнем его. Если же содержит ур-ие 0х1 + 0х2 + … +0хn = b и b ≠ 0, то метод Гаусса завершается и сис-ма явл. несовместной.
Предположим, что хотя бы 1 из коэффициентов при неизвестных в первом ур-ии ≠ 0. С помощью элементарных преобразований первого и второго типа добьемся, чтобы коэффициенты при х1 во всех ур-ях, начиная со второго, были равны 0.Если а21 ≠ 0, то ко второму ур-ию прибавим первое, умноженное на (-а21/а11). Получим ур-ие, у которого второй коэф-ент равен (-а21/а11*а11 + а21), т.е. этот коэф-ент = 0. Аналогично, если а31 ≠ 0, то к трктьему ур-ию прибавим первое, умноженное на (-а31/а11) и т.д. В итоге получим сис-му линейных ур-ий:
A11X1 + A12X2 + … +A1nXn = B1
A′22X2 + … + A′2nXn = B2 (2)
…….
A′q2X2 + … + A′qnXn = B′q
Количество ур-ий сис-мы (2) может быть меньше, чем у сис-мы (1) за счет вычеркивания ур-ий (т.е. q ≤ m).
Преобразуем сис-му Ур-ий (2), обведенную прямоугольником, и получим:
A11X1 + A′22X2 + A13X3 + … +A1nXn = B1
A′22X2 + A′23X3 +… + A′2nXn = B′2
A′′33X3 + … + A′′3nXn = B′′3 (3)
…….
A′′s3X3 + … + A′′snXn = B′′s
где s ≤ q, A11 ≠ 0, A′22 ≠ 0.
Проведем преобразования к сис-ме, обведенной прямоугольником в (3) и т.д.
Каждый раз преобразования применяются к сис-ме, имеющей на 1 неизвестное и хотя бы на 1 ур-ие меньше, чем предыдущая => в результате всех преобразований получится ур-ие 0Х1 + 0Х2 + … + 0Хn = b, b ≠ 0. Тогда преобразования прекращаются и исходная сис-ма явл. несовместной, либо в итоге получим лестничную сис-му.
Теорема: Система линейных ур-ний совместима тогда и только тогда,когда она элементарными преобразованиями приводит к лестничной системе.
- 1. Множества, булевы операции над множествами, основные их свойства.
- Булевы операции над множествами.
- 35. Разработка и оформление основных проектных документов (генплан).
- 2 2 . Граф, маршруты в графе, компоненты связности, связные графы.
- 36. Разработка и оформление основных проектных документов (планы зданий).
- 3 3 .Планарность графа, теорема Эйлера о многогранниках.
- 37.Разработка и оформление основных проектных документов (разрезы зданий).
- 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- 38.Разработка и оформление основных проектных документов (фасады зданий).
- Чертежи фасадов зданий.
- На фасады наносят:
- 5 5 .Матрицы, операции над матрицами, обратная матрица.
- Операции:
- 1) Сложение двух матриц
- 2) Умножением матрицы на число
- 3) Умножение двух матриц
- 39.На каких этапах архитектурного проектирования применяются пакеты компьютерной графики и какие?
- 6. Архитектура сетей. Топология и типология сетей. Одноранговые сети, сети на основе сервера, локальные и глобальные сети.
- Классификация
- Основные топологии локальных систем
- 40.Какие графические пакеты применяют при проектировании интерьеров и какие задачи они решают?
- 7 7 . Виды сервисов в Интернет.
- Основные сервисы Internet:
- 46.Социально-экологические проблемы города.
- 8 8 .Определение, назначение, состав и функции операционных систем.
- 47.Инженерное оборудование зданий.
- 9 9 .Классификация современных операционных систем.
- IV. Вытесняющая и невытесняющая многозадачность
- VII. Особенности областей использования:
- 48.Автоматизированные системы управления в современном здании, характеристика инженерных подсистем
- 10.Понятие информационной технологии. Эволюция информационных технологий.
- Эволюция информационных технологий.
- 49.Типологические особенности архитектуры городов.
- 1 11 1.Информационная система как средство реализации информационной технологии.
- 33.Средства архитектурной композиции (тектоника, ритм, симметрия, контраст, нюанс и др.).
- Художественные средства архитектуры
- 12.Понятие и свойства базы данных. Требования, предъявляемые к бд.
- 34.Стадийность архитектурного проектирования.
- 1 13 3.Система управления бд. Основные компоненты и функции субд.
- 50.Градостроительство–деятельность человека по преобразованию природной среды. Виды градостроительной деятельности.
- 14.Иерархическая, сетевая и реляционная модели представления данных. Достоинства и недостатки различных моделей.
- 51.Уровни градостроительного проектирования. Градостроительная документация.
- 1 15 5.Угрозы информационной безопасности, причины виды и каналы утечки информации
- 52.Типология населённых мест по величине, народнохозяйственному профилю, географическому положению.
- 1 16 6.Методы защиты информации в компьютерных системах
- 53.Функциональное зонирование города. Типы функционального зонирования.
- 8 Зон делятся на 3 группы:
- 1 17 7. Объекты и основные задачи информационного менеджмента.
- 41.Задачи экономической работы при проектировании городов.
- 1 18 8. Информационный менеджмент как новый тип управления учреждением.
- 42.Права и обязанности лица, осуществляющего архитектурную деятельность.
- Гл.III. Ст.12. Архитектор и юридическое лицо, имеющие лицензии, на основании договора с заказчиком (застройщиком) имеют право:
- 1 19 9.Понятие, свойства и характеристики алгоритмов.
- 43.Государственная экспертиза проектной документации: цели и задачи, этапы
- 2 20 0.Виды языков программирования.
- 44.Влияние деятельности человека на равновесие природных систем.
- 2 21 1. Понятие объектно-ориентированного подхода. Классы как пользовательские типы данных. Объекты как экземпляры классов.
- 45.Архитектурное проектирование – выбор оптимального варианта проектного решения, несущего социально-экологический комфорт.
- 2 22 2.Принципы объектно-ориентированного программирования. Наследование и агрегирование как способы создания новых классов.
- 32.Архитектура как вид искусства. Эстетический, средовой, культурологический подходы к архитектуре.
- 3. Архитектурная среда как возможность
- 2 23 3. Программирование в оконных операционных средах. Интегрированные среды разработки. Визуальное программирование.
- 54.Планировочная структура населенного места. Типы планировочных структур населенных мест.
- 24.Жизненный цикл ис. Состав работ на всех стадиях жизненного цикла ис
- 62.Основные задачи ландшафтного проектирования. Элементы ландшафтной системы. Классификация ландшафтов.
- 2 25 5.Автоматизированное проектирование ис с использованием case-технологии.
- 61. Критерии оптимальности планировочной структуры градостроительной системы.
- 2 26 6. Содержание rad-технологии создания приложений.
- 60.Реконструкция населённых мест. Цели, задачи, виды реконструкции.
- 27.Понятие и составляющие качества программного средства.
- 59.Транспортная структура как основной планировочный каркас города. Типы транспортных структур.
- 2 28 8. Разработка структуры программы и модульное программирование.
- Методы разработки структуры программы
- 58.Система озеленения населенных мест. Типы и виды озеленённых территорий города.
- Система озеленения состоит из 3-х элементов или категорий:
- Виды озелененных территорий города:
- 2 29 9.Тестирование и отладка программного средства.
- 57.Центр города. Типология планировочных структур.
- 3 30 0.Понятие проектирования. Стадии и этапы проектирования. Содержание работ на различных стадиях.
- Стадии и этапы проектирования
- 56.Пром. Зона, пром. Район, пром. Узел. Основные характеристики.
- 3 31 1.Состав и структура сапр. Виды обеспечения сапр.
- Виды обеспечения сапр
- 55.Особенности организации жилых образований поселений.