2.3 Собственные формы колебаний стержня и функции, их определяющие

Простейшим периодическим решением уравнения свободных колебаний стержня

(2.9)

является так называемое главное колебание, в котором у(x,t) изменяется с течением времени по гармоническому закону

(2.10)

Функция ц(х), устанавливающая закон распределения максимальных (амплитудных) отклонений точек оси стержня от равновесного расположения, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня бесконечное множество. Каждой собственной форме соответствует определенное значение частоты p -- так называемая собственная частота. Отбор собственных частот и соответствующих им собственных форм осуществляется с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи.

Чтобы получить уравнение собственных форм однородной задачи, подставим (7.10) в (7.9). После сокращения на будем иметь

(2.11)

(2.12)

Уравнение (7.11) имеет следующие четыре независимых частных решения: его общий интеграл

(2.13)

Он содержит четыре произвольные постоянные А, В, С, D, которые должны быть подобраны так, чтобы для функции ц(x) выполнялись краевые условия, т. е. условия закрепления концов стержня. В обычных случаях, число краевых условий равно числу произвольных постоянных-- по два на каждом конце. Все они выражаются равенствами нулю двух из следующих четырех величин:

пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота, изгибающему моменту и перерезывающей силе в точках x=0 или x=l. Выполняя эти условия, мы получим четыре однородных уравнения, из которых найдутся отношения постоянных А, В, С, D и уравнение для определения собственных частот системы.

Во многих отношениях более удобной оказывается следующая система частных решений уравнения (2.11):

 (2.14)

Функции S, T, U, V называются функциями A. H. Крылова.

Найдем значения этих функций и их производных по аргументу kx до третьего порядка включительно при x=0:

(2.15)

Определитель, составленный из этих величин, равен единице. Поэтому функции Крылова называют иногда функциями с единичной матрицей, а систему (2.14) -- нормальной или фундаментальной системой интегралов уравнений (2.11).

Приведем выражения последовательных производных по x от функций S(x), Т(x),U(x), V(x) до четвертого порядка включительно.

(2.16)

Одним из преимуществ функций Крылова является то, что с помощью этих функций можно сразу написать выражение общего интеграла уравнения (2.11), удовлетворяющего условиям на конце x=0 и содержащего только две постоянные, которые определяются из- условий на другом конце x=l.