1.2 Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы

Вынужденные колебания возникают в механической системе в результате воздействия на нее внешних (обычно периодических) возмущающих сил или ударов (импульсов).

Мы начнем с разбора простейшего случая, когда внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону

,

где Н -- максимальное значение или амплитуда возмущающей силы; p -- число полных циклов изменения силы за 2р секунд. Уравнение колебаний линейного осциллятора в предположении, что, кроме силы Q, на него действует восстанавливающая сила, пропорциональная отклонению q, и сопротивление отсутствует, напишем следующим образом:

(1.10)

где

Общее решение этого уравнения при p?k получится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения (1.10):

здесь C₁ и C₂ -- произвольные постоянные.

Пусть при . Тогда

(1.11)

Первые два слагаемых правой части уравнения (2.28) соответствуют свободным колебаниям с собственной частотой k, т. е. колебаниям, какие совершал бы осциллятор в отсутствие возмущающей силы. При так называемых нулевых начальных условиях, когда при t=0, такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают.

Третье слагаемое -- гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой k, но с амплитудой, зависящей от возмущающей силы. Это колебание также относится к свободным колебаниям. Оно всегда сопровождает вынужденные колебания, при любых начальных условиях, от которых оно вообще не зависит. Его мы будем называть свободным сопровождающим колебанием.

Четвертое слагаемое

(1.12)

представляет чисто вынужденные колебания осциллятора.

Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассматриваемом случае представляют линейное наложение трех гармонических колебаний: 1) свободных; 2) сопровождающих свободных и 3) чисто вынужденных.

Отметим следующие свойства вынужденных колебаний, вытекающие из уравнения (1.12).

а) Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы.

б) Вынужденные колебания в отличие от свободных ни в чем не зависят от начальных условий. Поэтому для изменения, например, амплитуды вынужденных колебаний необходимы (при заданной возмущающей силе) существенные изменения параметров системы: ее жесткости, распределения масс, тогда как в свободных колебаниях для этого достаточно изменения начального отклонения или начальной скорости.

в) Если k>p, то знак отклонения будет совпадать со знаком силы Q, т. е. сила и вызванные ею вынужденные перемещения будут находиться в одной фазе. Если k<p, то знак силы будет противоположен знаку отклонения. Переписав для этого случая уравнение (2.29) следующим образом:

мы можем сказать, что при k < p возмущающая сила и вызванные ею колебания находятся в противоположных фазах.

г) Когда k=p, выражение (1.12) теряет смысл. Теряет смысл также и слагаемое общего решения (1.11), соответствующее свободным сопровождающим колебаниям. Однако рассматриваемые совместно, оба названные слагаемые при k=p дают только неопределенность

которую можно раскрыть по правилу Лопиталя, заменив дробь в квадратных скобках пределом при p>k отношения производных по р от числителя и знаменателя:

Таким образом, общий интеграл (2.28) будет иметь вид

(1.13)

И здесь, как в (1.11), движение осциллятора представляет линейное наложение трех колебательных движений, но с одним существенным отличием от (1.11): вынужденные колебания представлены в нем непериодическим членом в коэффициент которого входит множителем время t. Такой член называется вековым. С течением времени он растет по абсолютной величине безгранично, причем определяемые им колебания происходят с возрастающими по линейному закону отклонениями, как показано на рис. 1.9. Совпадение частоты возмущающей силы с собственной частотой системы и₍сопровождающие его явления носят название резонанса.

Рисунок 1.9. Изменение векового члена от времени.

При наличии сопротивления, которое мы, как и раньше, примем пропорциональным первой степени скорости q, положив

мы найдем только одно решение, годное для любых значений p, в частности, и для резонансного p=k.

В самом деле, уравнение колебаний линейного осциллятора в прежних обозначениях будет в этом случае иметь вид

(1.13)

Его общее решение найдется как сумма общего решения уравнения без правой части:

(1.14)

и частного решения уравнения (1.13) с правой частью. Решения уравнения (1.14) при различных соотношениях между nик нам известны. В частности, при n < k решение этого уравнения

определяет свободные затухающие колебания.

Частное решение q₂ уравнения (1.13) мы будем искать, положив

q₂ = A sin (pt -- е)

и подбирая величины А и е так, чтобы это выражение, будучи подставлено в уравнение (1.11), обратило его в тождество. Из уравнений

получающихся при сравнении коэффициентов при sin pt и cos pt в обеих частях уравнения (1.11), находим

Общий интеграл уравнения (1.11), таким образом, имеет вид

Если в начальный момент , то

(1.15)

Первые два слагаемых полученного решения соответствуют свободным и свободным сопровождающим колебаниям. И те, и другие с течением времени затухают, так что через более или менее продолжительный промежуток времени ими можно будет вообще пренебречь и считать, что в дальнейшем движении система совершает только чисто вынужденные колебания согласно уравнению

(1.16)

Этим уравнением будет определяться установившийся колебательный режим линейного осциллятора и при других соотношениях между n и k когда n>k или n=k.

На рис. 1.10 представлен общий ход установления колебательного режима системы с сопротивлением при действии на нее гармонической возмущающей силы.

Рисунок 1.10. Общий ход установления колебательного режима системы с сопротивлением при действии на нее гармонической возмущающей силы.

Из уравнения (1.16) можно сделать следующие выводы:

а) Вынужденные колебания и при наличии сопротивлений происходят с частотой возмущающей силы. Это всеобщий закон вынужденных колебаний линейного осциллятора, имеющий место независимо от условий, в каких происходят его вынужденные колебания, в частности, независимо от того, имеются ли в системе сопротивления или нет.

б) Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий и времени не зависит. С течением времени она не изменяется и, следовательно, вынужденные колебания, в отличие от свободных, от сопротивлений не затухают. При резонансе, когда p=k, амплитуда вынужденных колебаний остается конечной и притом не самой большой из возможных ее значений для данной системы. В самом деле, разыскивая значение р, при котором амплитуда

(1.17)

достигает максимума, найдем, что это случится, когда

т.е. до наступления резонанса, при p < k.

в) В вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда имеет место сдвиг фазы колебания по сравнению с фазой возмущающей силы. Величина е этого сдвига определяется формулой

(1.18)

Максимальное значение, равное , сдвиг фазы имеет при резонансе, когда p=k.

Амплитудой вынужденных колебаний определяются максимальные динамические напряжения, возникающие в упругих системах от воздействия на них гармонических возмущающих сил. В высшей степени важно заметить, что величина этих напряжений, как и амплитуды А, зависит не столько от величины возмущающей силы, сколько от частоты ее изменений во времени. При одном и том же значении H амплитуда и возникающие в системе напряжения могут значительно изменяться в зависимости от изменений частоты р. Для оценки этих изменений их сравнивают со статическим отклонением A₀ системы при действии на нее силы Н

(1.19)

Отношение амплитуды А к А₀, равное

(1.20)

где называется коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичности показывает во сколько раз максимальное динамическое отклонение при вынужденных колебаниях от силы H•sin(pt) больше максимального статического отклонения от постоянной силы Н. На рис. 1.11, так называемыми, резонансными кривыми представлен ход изменения абсолютной величины коэффициента динамичности з в зависимости от частоты возмущающей силы для некоторых значений коэффициента сопротивления . Пунктиром показана резонансная кривая для n=0 в отсутствие сопротивления, когда коэффициент динамичности

(1.21)

Эта кривая имеет разрыв в точке а=1.

Рисунок 1.11. Ход изменения абсолютной величины коэффициента динамичности з

Из рассмотрения резонансных кривых на рис. 1.11 обнаруживается следующий факт, имеющий значение в приближенных расчетах амплитуд вынужденных колебаний. В областях, достаточно далеких от резонанса, амплитуды при относительно малом сопротивлении почти не отличаются от соответствующих амплитуд вынужденных колебаний без сопротивления, определяемых более простой формулой

В этих областях при вычислении амплитуд можно совсем не учитывать сопротивлений, которые вообще с трудом поддаются точному определению.

Хотя амплитуды вынужденных колебаний с сопротивлением остаются конечными и при резонансе, однако при более или менее продолжительной работе деталей машин в резонансных условиях всегда имеется опасность полного или частичного их разрушения от усталостных напряжений. При проектировании конструкции, подверженной воздействиям возмущающих сил, стараются, поэтому подобрать соотношения размеров и прочности ее деталей так, чтобы по возможности отодвинуть условия нормального режима работы ее от резонансных условий). Для той же цели служат специальные устройства, как, например, нелинейные муфты, виброгасители и т. п.