3.3 Колебания трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l

Расчетная схема трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l, изображена на рис. 3.6.

Рисунок 3.6 - Расчетная схема трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда в точке x=0 будут равны 0 прогиб и угол поворота, а в точке x=l будут равны 0 изгибающий момент и срезающая сила.

(3.15)

(3.16)

Как видно из (2.15),условиям для точки x=0 удовлетворяют функции U и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

Постоянные С и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.17)

(3.18)

Выразим из уравнения (3.17) постоянную C

(3.19)

и подставим в уравнение (3.18)

Разделим на D

Распишем функции Крылова S, T и V согласно (2.14).

(3.20)

Воспользовавшись для решения уравнения (3.20) функцией Подбор параметра в программе Microsoft Office Excel, как это описано выше, найдем первые три корня уравнения.

Отбросив нулевой корень, получаем следующие первые три корня уравнения (3.20)

Подставив полученные значения k в формулу (2.12) определим собственные частоты первых трёх форм колебаний

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнение

Первые три собственные формы колебаний представлены на рис. 3.7.

Рисунок 3.7 - Собственные формы колебаний трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l.