3.1 Колебания трубопровода, шарнирно опертого по концам

Расчетная схема трубопровода, шарнирно опертого по концам, изображена на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Расчетная схема трубопровода, шарнирно опертого по концам.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда прогиб и изгибающий момент на обоих концах трубы будут равны 0.

(3.1)

(3.2)

Как видно из (2.15), данным условиям удовлетворяют функции T и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

Постоянные B и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.3)

(3.4)

Так как уравнения (3.3) и (3.4) равны, то приравняем их левые части

(3.5)

Выразим из уравнения (3.3) постоянную В

и подставим в уравнение (3.5)

Левая часть уравнения будет равна 0.

Разделим на k²D

Распишем функции Крылова T и V согласно (2.14).

(3.6)

Решением уравнения (3.6) будет являться случай, когда один из множителей будет равен 0.

(3.7)

Корень kl=0 нас не интересует, так как собственная частота по уравнению (2.12) будет равна 0, т.е. колебания будут отсутствовать.

Подставив значение k из формулы (3.7) определим собственную частоту колебаний

где i - волновое число, определяющее номер собственной формы колебаний (i=1,2,3…).

Для примера расчета возьмем трубопровод диаметром D=820мм, толщиной стенки д=10мм и длиной l=50 м.

Внутренний диаметр трубы будет равен

где Е=2.1•10¹¹ Па (для стали).

Момент инерции поперечного сечения трубы, относительно оси, перпендикулярной к плоскости колебаний, вычисляется по формуле

Масса единицы длины стержня вычисляется по формуле

(3.8)

где S - площадь поперечного сечения трубы, вычисляемая по формуле

(3.9)

1 - погонная длина трубы l=1м,

с=7850 кГ/м³ - плотность стали.

Преобразуем формулу (3.8), заменив значение площади формулой (3.9)

Вычислим собственные частоты первых трёх форм колебаний.

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнения

Первые три собственные формы колебаний представлены на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 - Собственные формы колебаний трубопровода, шарнирно опёртого по концам.