2.1 Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня

При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии так называемая упругая ось Упругая ось стержня -- это геометрическое место точек («центров же-сткости»), к которым должны быть приложены внешние силы, чтобы вызвать изгиб стержня без кручения. Если упругая ось не. совпадает с линией центров тяжести, то, как известно, стержень, Изгибаясь, будет закручиваться. стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось x: и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости («плоскость колебаний») и являются «малыми» отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных -- координаты x и времени t:

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.

Обозначим через м(х) массу единицы длины стержня (кГ/м), через EJ--жесткость на прогиб [Е (Па) -- модуль упругости, J (м⁴) - момент инерции поперечного сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний], J_в (кГ•м²) -- момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через f(x,t), а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью Р(x,t). Эти нагрузки могут зависеть не только от положения элементов стержня, но и от времени.

Кинетическая, энергия колеблющегося стержня складывается из Кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня

(2.1)

и кинетической энергии вращений элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных к плоскости колебаний,

(2.2)

Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил)

(2.3)

б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки f(x, t)

(2.4)

в) и, наконец, потенциальной энергии растяжения от продольной силы Р(x,t)

(2.5)

Функционал S Остроградского-Гамильтона имеет здесь вид

(2.6)

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала S уравнение Эйлера

(2.7)

Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы.

В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (2.7) последний член.

Положив f(x,t)=0 и р(х,t)=0, мы рассмотрим сначала свободные колебания однородного стержня с постоянными жесткостью EJ и погонной массой м. Для таких колебаний уравнение (2.7) будет иметь вид

(2.8)