3.2 Колебания трубопровода с жёстко закреплёнными концами

Расчетная схема трубопровода с жёстко закреплёнными концами изображена на рис. 3.3.

Рисунок 3.3 - Расчетная схема трубопровода с жёстко закреплёнными концами.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда прогиб и угол поворота на обоих концах трубы будут равны 0.

(3.10)

(3.11)

Как видно из (2.15), данным условиям удовлетворяют функции U и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

Постоянные С и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.12)

(3.13)

Выразим из уравнения (3.12) постоянную C

и подставим в уравнение (3.13)

Разделим на D

Распишем функции Крылова T, U и V согласно (2.14).

(3.14)

Для решения уравнения (3.14) воспользуемся функцией подбор параметра в программе Microsoft Office Excel. Для этого сначала создаем две ячейки: в ячейке В1 необходимо записать уравнение (3.14), в которой переменной является выражение kl; ячейка В2 и будет являться той самой переменной.

Затем необходимо войти в меню Данные>Работа с данными>Анализ «что-если»>Подбор параметра. В открывшемся окне в поле Установить в ячейке указываем ссылку на ячейку с формулой, т.е. В1; в поле Значение указываем 0, так как значение уравнения должно равняться 0; в поле Изменяя значение ячейки указываем переменную уравнения, т.е. ячейку В2. Далее нажимаем ОК и в ячейке В2 появляется искомое значение kl.

Пример выполнения функции Подбор параметра приведен на рис. 3.4.

Рисунок 3.4 - Пример решения уравнения при помощи функции «Подбор параметра» в программе MS Excel.

Далее изменяя начальное значение kl, воспользовавшись тем же принципом, найдем еще два значения kl.

Отбросив нулевой корень, получаем следующие первые три корня уравнения (3.14):

Подставив полученные значения k в формулу (2.12) определим собственные частоты первых трёх форм колебаний

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнение

Первые две собственные формы колебаний представлены на рис. 3.5.

Рисунок 3.5 - Собственные формы колебаний трубопровода с жёстко защемлёнными концами