3.3. Статистическое моделирование рисков

На практике при определении статистических характеристик риска несвоевременного выполнения работ зачастую используют его более обобщенные (интегральные) характеристики, которые вытекают из следующей постановки задачи. Требуется определить, с какой вероятностью фактическая продолжительность работы будет превышать запланированную продолжительность и какая цена в этом случае будет заплачена. Статистические характеристики риска наиболее полно описываются кривой распределения плотности вероятности f(t), показывающей вероятность выполнения работы в промежутке времени от t до t + t.

Рассмотрим наиболее широко используемые функции распределения плотности вероятности.

Равномерное распределение. Это распределение может быть описано двумя параметрами, а именно: оптимистичной продолжительностью А, определяемой планом, и пессимистичной продолжительностью В, и тогда f(t) = 1 / (BA). Недостаток этого распределения заключается в том, что вероятность большого отставания работы и вероятность малого отставания  одинаковы.

Двухпараметрическое бета-распределение. В данном распределении используются те же параметры оптимистической и пессимистической оценок продолжительности. Недостатком этого распределения следует признать то, что его максимум (мода) является средней величиной в промежутке между оптимистичной и пессимистичной оценками: (А+В) / 2. Это обстоятельство не может быть логически обосновано. Бета-распределение определяется следующей формулой:

(17)

Нормальное распределение. Плотность вероятности данного распределения определяется формулой

(18)

Недостатком этого распределения является его безграничность.

Треугольное распределение. Функция треугольного распределения продолжительности выполнения работ будет определяться исходя из следующих соображений:

а) как уже было отмечено ранее, согласно закону Паркинсона, если работа выполнима за отведенное на нее время, то ее выполнение заполнит все запланированное время. Из этого следует, что вероятность (плотность вероятности) сверхпланового выполнения работы (досрочного) будет равна нулю;

б) плотность вероятности выполнения работы за большее время меньше, чем плотность вероятности выполнения работы за меньшее время. Из этого следует, что кривая плотности вероятности является монотонно убывающей функцией;

в) максимальное время несвоевременного выполнения работы является конечной величиной. Из этого следует, что плотность вероятности несвоевременного выполнения работы для продолжительности выше некоторого предела равна нулю;

г) скорость убывания плотности вероятности априори неизвестна, поэтому согласно принципу Бернулли принимаем ее постоянной.

На рис.10 показано данное распределение и его аналитическое выражение.

Рис. 10. Треугольное распределение

Для использования треугольного распределения в целях статистического моделирования несвоевременного выполнения проекта необходимы информация об оптимистичной и пессимистичной продолжительности работы, а также генератор случайных чисел, воспроизводящий треугольное распределение. Средняя продолжительность выполнения работы определяется следующей формулой:

(19)

Впрограмме Excel имеется генератор случайных чисел Х. Эти числа равномерно распределены в диапазоне от 0 до 1, т.е. плотность вероятности f(X) = 1. Требуется установить такую функцию от t, для которой распределение f(t) описывалось бы треугольным распределением в диапазоне от А до В. Итоговое выражение будет определяться следующим соотношением:

(20)

Рассмотрим более «физичную» модель, основанную на том, что изменению величине плотности вероятности препятствует сила сопротивления, которая в той или иной степени пропорциональна самой плотности вероятности. Известно, что плотность вероятности определяется как производная от накопленной вероятности по значению аргумента, которым является случайное время. Следовательно, плотность вероятности является величиной аналогичной скорости. Если рассмотреть равномерное распределение, то плотность вероятности или его скорость есть величина постоянная. Из этого следует, что на своевременность работы не действует никакая сила, уменьшающая эту скорость. Однако реальная практика показывает, что любая организация все-таки прикладывает определенные усилия для уменьшения отклонений от своевременного выполнения работ.

Таким образом, считаем, что сила сопротивления будет обратно пропорциональна разности между пессимистической и оптимистической оценками продолжительности выполнения работы и прямо пропорциональна значению функции плотности распределения. В формализованной записи это обобщающее утверждение эквивалентно дифференциальному уравнению, описываемому формулой (21):

(21)

Интегрируя это уравнение в пределах изменения t от А до В, получаем экспоненциальную функцию распределения (5) плотности вероятности

(22)

Накопленная вероятность будет равна

(23)

В данном распределении пессимистическая продолжительность не является маргинальной, а является средним значением случайной несвоевременности. Доказательством этого является следующий расчет.

(24)

Это позволяет при проведении статистических экспериментов уменьшить информационную сложность системы, так как вряд ли можно ожидать от управляющих строительным производством точной информации о предельном значении несвоевременности выполнения работ. В тоже время информация о средних значениях может быть получена как с помощью обработки соответствующей статистики, так и посредством экспертного оценивания.

Для практического применения формулы (24) необходимо вывести формулу, которая преобразует генератор равномерного распределения случайных величин в требуемое распределение. Искомая формула имеет следующий вид:

(25)

где t – случайная продолжительность работы;

А – оптимистическая или плановая продолжительность работы;

В – пессимистическая продолжительность работы;

Х – случайное значение стандартного равномерно распределенного генератора, в диапазоне случайных чисел от 0 до 1.

Таким образом, предлагаемое для статистического моделирования экспоненциальное распределение обладает следующими свойствами:

1. Вероятность досрочного выполнения равна нулю;

2. Максимум плотности вероятности приходится на своевременное выполнение работы;

3. Плотность распределения является монотонно убывающей функцией;

4. Характер монотонно убывающей функции определяется силой сопротивления отклонению от своевременного выполнения;

5. Основным параметром экспоненциального распределения является задание средней величины несвоевременного окончания работы.

Используя программу управления проектом типа Microsoft Project и представленный генератор случайных продолжительностей, можно проводить анализ чувствительности всего проекта в зависимости от несвоевременного выполнения работ. Подобного рода анализ основан на методе статистических испытаний, получившем название метода Монте-Карло.