§ XIX.2. Методика прогноза максимальных расходов воды в реках

Непрерывный ряд наибольших годовых максимальных расходов, зафиксированных за несколько лет, может быть изображен в виде столбчатых диаграмм: хронологической (рис. Х1Х.2, а) и ранжиро­ванной (рис. XIX.2, б).

Средняя высота ряда и характерное выпукловогнутое очертание ранжированной диаграммы не изменяются с увеличением продолжи­тельности наблюдений за режимом реки.

Если длительность всего периода наблюдений принять за единицу, то вероятность превышения любого расхода из натурного ранжирован­ного ряда будет определяться тон частью единицы 8, которой соот­ветствует еще более высокие расходы. В первом приближении эта ве­роятность может быть подсчитана по ограниченному количеству максимальных годовых расходов. Такая непосредственно вычи­сляемая вероятность или соответствующая ей частота называется эмпирической.

Распространенной в настоящее время формулой, отображающей Возможность включения в короткий ряд настолько больших расходов,

10 10 14" 10- 0,7 1 I Вероятность превышения,7»

N.

Рис. Х1Х.2. Диаграммы максимальных годовых расходов

что частота их превышения меньше, чем 1 раз за период наблюдений, является

т — 0,3 т — 0,3 1\ 5 :—& . (Х1Х.1)

^л п + 0,4 п

где т — порядковый номер члена ряда в ранжированном ряду; л — общее число членов ряда (лет наблюдений за режимом реки)

Чем длиннее ряд наблюдаемых величин, тем более плавное очерта­ние приобретает ранжированная диаграмма максимальных расходов. При воображаемом бесконечно большом увеличении продолжитель­ности наблюдений и неизменной длине диаграммы, равной единице, каждый из расходов будет изображаться уже не столбиком, а одной линией—ординатой. При этом ступенчатое очертание диаграммы перей­дет в плавное криволинейное (рис. XIX.2, в). Пользуясь такой кри­вой, можно определить теоретическую вероятность превышения лю­бого по величине максимального расхода реки, в том числе превышаю­щего фактически наблюдавшиеся, или по заданной вероятности пре­вышения найти величину соответствующего ей расхода. Очерта­ние кривой, которая может быть названа кривой вероятностей, уста­навливается исходя из основного предположения, что закономерности колебаний стока, установленные в течение предшествующего ограни­ченного периода изучения режима стока реки, сохраняются и для по­следующего, тоже 01 раниченного периода эксплуатации сооружений перехода через эту реку.

Уравнение кривой вероятностей, изображенной на рис. XIX.2, в, подбирается для каждой реки самостоятельно как обычная эмпириче­ская формула.

Для этой цели необходимо сначала установить тип уравнения, а затем определить его числовые параметры по фактически имею­щимся эмпирическим величинам, т. е. по ряду уже наблюдавших­ся максимальных расходов.

В качестве эмпирических формул чаще всего применяют формулы так называемого трехпараметрического гамма-распрсделения, хоро­шо описывающие фактические распределения гидрологических харак­теристик реки, в частности максимальных расходов. Числовые пара­метры уравнений этих кривых представляют собой статистические характеристики ряда наблюдавшихся величин.

При этом используют таблицы или графики ординат и сводят рас­чет к формуле

(1, = КЛ (Х1Х.2)

где _0₈ — искомый максимальный расход заданной вероятности превы­шения; С! — среднеарифметический максимальный расход, вычисленный за длинный ряд лет; К₃ — модульный коэффициент, определяемый по таблицам, составленным на основе уравнений трехпараметрического гамма-распределения (табл. XIX 2), или по рис. IX 6 (см. ч. I).

При этом

*. = /(*. е..

где 5 — вероятность превышения расчетного расхода; С_и, С_в — статисти­ческие параметры ряда наблюдавшихся величин, называемые коэффициентами вариации и асимметрии

Величину (2 вычисляют по формуле арифметического среднего, т, е.

п

- 2^е

<г = —. (Х1Х.З)

где п — число суммируемых величин.

Параметр С₀ представляет собой отношение среднеквадратичного отклонения' всех максимальных расходов о от среднего их значения к этому среднему значению, т. е.

^..у (XIX.4)

$ 5 I п-1 у п-\ 0.

где К = —модульный коэффициент каждого из расходов по отношению ^

к среднему.

Произведя алгебраическое преобразование подкоренного выра-

п

зкения и учитывая, что 2 К" = ^п> можно записать выражение для ко­эффициента вариации в виде

Параметр С₃ выражается формулой

У\{к-1)3

причем для рядов максимальных расходов С, > 0.

Однако непосредственное вычисление по этой формуле приводит к значительным ошибкам, в связи с чем отношение С„ : С„ определяют подбором, как наилучшим образом удовлетворяющее очертанию ран­жированной диаграммы натурных расходов, или принимают С₈ = 2С„ при стоке талых вод и С, — (3 — 4) С„ при ливневом стоке.

Величина расчетного модульного коэффициента может быть пред­ставлена также формулой

К.= \+С_аф„ (XIX.7)

К, — 1

где Ф₈ — ? (в, С,) = ■—— , вычислялся по уравнению выбранной кри­вой или по данным табл. XIX 2.

Тогда

<?. = *.§=-( 1 +С„Ф,)5 = д + оФ.. (XIX.8)

Точность вычисления параметров ряда расходов <? и <т, а следо­вательно, и расчетных расходов зависит от числа членов ограничен­ного ряда наблюдений, по которому они определяются. Чем меньше число членов ряда, тем больше погрешность вычисления, т. е. тем больше могут отклоняться величины параметров ряда и расхода от тех точных значений, которые соответствуют бесконечному сроку наблюдении за режимом водотока. Вероятная ошибка определения

будет равна среднеквадратичной ошибке суммы, стоящей в пра­вой части равенства (XIX.8). Следовательно,

дд,= ]/^ЛЩ^г+^ФП (XIX. 9)

Вероятные ошибки вычисления средней величины максимальных расходов и среднеквадратичного их отклонения 01 среднего значения, зависящие от длительности наблюдений, определяют на основе тео­рии вероятностей по формулам:

_{а =} (XIX.10)

Уп У?п

При этом вероятная ошибка определения расхода составляет:

АСЬ = ± °'⁶⁷⁴^^С-К2 + Ф|■ (XIX.И)

У2п

Величину Л<2₃ можно вводить со знаком плюс как поправку к значению расхода <5₅, определяемому по формуле (XIX.8), что на­зывается гарантийной поправкой, т. е. поправкой, гарантирующей от появления значительных ошибок в связи с неточным определением па-

25

растров ряда расходов. Однако при проектировании транспортных сооружений эту поправку обычно не вводят.

Из уравнения (XIX.11) может быть выведена важная формула минимального числа лет наблюдений за режимом водотока, обеспечи­вающего малую, заранее заданную погрешность:

п>-**Р ⁺ «'> , (XIX .12)

(1 + С„Ф,)²

где Ф5 — определяется по формуле (XIX 7).

Числовой коэффициент А = ^(Лг) Р^аврн '2,5 при наибольшей допустимой погрешности 20% и 50, если допустимая погрешность принимается равной 10%.

Чем меньше расчетная вероятность превышения максимального расхода, тем больше величина К_а или Ф₈ и [ем большее число лет не­обходимо наблюдать (при прочих равных условиях) за режимом водо­тока, чтобы надежно определить величину расчетного максимального расхода. С другой стороны, необходимый срок изучения режима тем меньше, чем меньше вариация ряда расходов, т. е. чем уже пределы их изменений. Для очень малых значений, С„ число лег наблюдений п равно весьма малой величине. Однако, чтобы надежно вычислить коэффициент вариации, входящий в формулу (XIX. 12), необходим некоторый минимум наблюдений. Практика расчетов показывает, что стабильное значение средней величины максимального расхода до­стигается при п = 10 годам наблюдений, а стабильное значение ко­эффициента вариации — только при п = 15. Последней цифрой и ог­раничивается наименьшая продолжительность наблюдений в тех слу­чаях, когда расчст по формуле (XIX.12) дает п< 15.

Для правильного определения параметров ряда расходов важно, чтобы период наблюдений охватывал как маловодные, так и много- годные годы. Только в этом случае может быть установлена фактиче­ская изменчивость высот половодий, характерная для данного водо­тока. Так, расходы, определенные с вероятностью превышения 1% по многолетним данным и по данным, охватывающим только более короткий маловодный период, различаются в 1,5 раза (рис. Х1Х.З),

Определение статистических параметров ряда максимальных рас­ходов и величин расходов г расчетной вероятностью превышения удобно выполнять в табличной форме (табл. XIX.3).

Вследствие недостаточной изученности водотоков при проекти­ровании мостовых переходов нередко возникает задача искусствен­ного удлинения ряда непрерывных наблюдений за режимом реки. Такое удлинение до необходимых пределов, определяемых формулой (XIX. 12), выполняется обоснованно и беспрепятственно, если на том же водотоке, но вне места перехода имеется постоянный водомер­ный пост с достаточно длительным сроком наблюдений. В этих условиях можно построить по данным параллельных наблюдений кри­вую связи расходов в двух створах реки (рис. Х1Х.4) и, пользуясь ею, определить, какие максимальные расходы проходили в месте пере- 20

а — с экстраноляпией до наивысшего уров­ня, 6 ■— с зафиксированным наивысшим

уровнем в обоих створах реки Увп — расход в створе водомерного поста; С-л г — расход в месте перехода

хода реки в те годы, когда наблюдения за режимом стока здесь еще не велись, Особенно точно может быть построена кривая связи, если в обоих створах реки бы/1 зафиксирован самый большой максималь­ный расход. Такие высокие половодья, или наводки, обычно приносят повреждения сооружениям, затопляют населенные пункты и т. д. Поэтому отметки уровня воды при особенно высоких половодьях и паводках часто фиксируются на зданиях и других предметах. На­пример, на Волге во многих пунктах зафиксировано очень высокое половодье в 1719 г., на Оке в 1820 г. и т. д. Имея кривые расхода по обоим пунктам, для которых строится кривая связи, нетрудно перей­ти от этих отдельно зафиксированных уровней к соответствующим им расходам. В этом случае отпадает необходимость экстраполяции кри­вой связи (см. рис. XIX.а) и можно ограничиться более точной ее интерполяцией (см. рис. XIX.4, б).

Прогноз максимальных расходов может быть выполнен ие только изложенным выше аналитическим способом, но и графоаналитиче­ским, т. е, с графической экстраполяцией на малые вероятности пре­вышения. Однако надежная экстраполяция с изображением кривой вероятности при равномерных шкалах на осях 5 и <? неосуществима в связи с резким подъемом и криволинейным очертанием левой ветви кривой (см. рис. XIX.2, в). Поэтому для графической экстраполя­ции кривой вероятности ее строя! на специальных клетчатках, назы­ваемых клетчагкамн вероятности, на которых эта кривая выпрям­ляется, аналогично тому, как при использовании логарифмической шкалы выпрямляе!ся график степенной функции.

Неравномерная функциональная шкала на горизонтальной осн так называемой клетчатки нормального распределения (рис. XIX.5) строится по уравнению этого распределения, Точки, соответствующие максимальным годовым расходам реки, располагаются на прямых, если С_а — 0. или на очень пологих вогнутых кривых, если С₃ > 0. Наклон этих прямых или кривых к горизонтальной оси тем больше, чем больше С„, Пологие кривые и тем более прямые позволяют выполнять довольно точную непосредственную экстраполяцию. При графической экстраполяции не задаются типом уравнения кривой вероятности, т. е. ошибка от применения какого-либо обязательного уравнения кривой (в том числе трехпараметрического гамма-распре­деления) может быть уменьшена или полностью устранена.

С вертикальной осью расходов на клетчатке нормального распре­деления совмещается или равномерная шкала, пригодная для рядов наблюдений с небольшими коэффициентами вариации, или логарифми­ческая шкала (см. рис. XIX.5), используемая при значительной ам­плитуде колебаний максимальных расходов.

Точки, изображающие уже наблюдавшиеся величины расходов, наносят на клетчатку нормального распределения в соответствии

с эмпирическом вероятностью их превышения, вычисляемой по фор­муле (XIX.I), и выполняют графи­ческую экстраполяцию (рис XI X 6).

Аналогичное построение с. на­несением теоретических кривых по табл. XIX.2 выполняют для выбо­ра наилучшего соотношения рас­четных параметров С, : С_с при ана­литическом расчете

Расчетному паводку, величина максимального расхода которою определена приведенными выше приемами, соответствует некоторый

уровень воды с той же вероятностью превышения его более высокими, что и для расхода. Отметку уровня (см. § XIX 3) наилучшим образом 'можно установить по кривой расхода, выражающей зависимость Н ⁼ ( (О)- Кривую расхода строят по данным полевых гидрометриче­ских измерений. Очевидно, следует предполагать наличие такой [кривой, так как статистической обработке, изложенной выше, подвер­гался ряд вычисленных расходов, а не уровней, непосредственно из­меряемых на водомерном посту.

Однако в значительном количестве случаев постоянные водомер­ные посты еще ие имеют кривой расхода, т. е. гидрометрические ра­боты (за исключением измерения уровней) на них еще не проводились. В этих условиях целесообразно, учитывая совпадение вероятностей превышения максимальных расходов и уровней, производить самостоя­тельную обработку рядов уровней специальным статистическим прие­мом. Область применения такого приема расчета ограничивается дву- [мя случаями, створ перехода совпадает со створом наблюдений за ^уровнями или между створом наблюдений с многолетним рядом уров­ней и переходом может быть построен достаточно надежный график »связи.

[ Непосредственное определение расчетного уровня неприменимо для створов, расположенных на конусах выноса, где наблюдается по­степенный закономерный подъем речного русла и вместе с ним и все­го водного потока, а также на участках верховьев рек, где происходит закономерное врезание реки в коренные породы.

Надо учитывать, что хорошо изученные аналитические выраже­ния кривых вероятности максимальных расходов не могут быть ис- шользованы в этом случае, так как характер изменчивости ряда уров­ней отличен от изменчивости ряда расходов. Использование стати- .стических параметров, удобных для обработки рядов расходов, ока­зывается затруднительным и, что главное, непоказательным. Измене­ние нуля отсчетов уровней (абсолютные ошетки; от нуля графика водо­мерного поста; от наинизшего уровня воды в межень и т. д.) приводит к изменению значений Н и С„. Только параметр С₈, если его вычислять по общей полной формуле (XIX.6), не меняет своею значения при из­менении нуля отсчета,

5 10 IV 30Ы 10 70 19 9 0 39 33,3ВП,%

Как показывает опыт расчетов, коэффициенты асимметрии много­летних рядов уровней отрицательны (С, < 0), что объясняется малой разностью очень высоких уровней (из-за широкого разлива на поймы), несмотря на существенную разницу в расходах, им соответствующих. В то же время все используемые в практике гидрологических расчетов кривые вероятности расходов положительно асимметричны (С₈ > 0), в связи с чем их применение я становится невозможным. ^ Поэтому для обработки рядов уровней н определения уровня редкой расчет­ной вероятности превышения используют только клетчатки вероят­ностей, т. е. графический прием расчета.

Наиболее удобной является клетчатка нормального распределения с равномерной вертикальной шкалой (ем. рис. XIX.6). На этой клет­чатке вероятностей положительно асимметричное распределение расходов изображается вогнутой кривой /, а отрицательно асимме­тричное распределение уровней — кривой 2, выпуклой кверху.

Расчет сводится к ранжированию ряда наблюдавшихся годовых максимальных уровней, вычислению эмпирической вероятности пре­вышения каждого члена ряда по формуле (Х1Х.1), нанесению точек Н = / (5) на клетчатку, проведению плавной кривой вероятности по нанесенным точкам и графической экстраполяции ее до расчетного значения вероятности превышения (см. рис. XIX.6).